BAB 14 PROPOSISI

PROPOSISI

A. KONSEP DAN NOTASI DASAR PROPOSISI

Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya (truth value).

B. PROPOSISI DAN TABEL KEBENARAN

Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari proposisi atomiknya dan cara mereka dihubungkan oleh operator logika.

Misalkan p dan q adalah proposisi.

Konjungsi p ^ q bernilai benar jika p dan q keduanya benar, selain itu nilainya salah

Disjungsi p v q bernilai salah jika p dan q keduanya salah, selain itu nilainya benar

Negasi p, yaitu ~p, bernilai benar jika p salah, dan sebaliknya

C. TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI

TAUTOLOGI

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis.

KONTRADIKSI

Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.

D. EKIVALEN LOGIKA

Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logika.

E. ALJABAR PROPOSISI

Hukum-Hukum Aljabar Proposisi:

a.       Hukum Idempoten (Idem)

p∨p ek p

p∧p ek p

b.      Hukum Asosiatif (As)

(p∨q)∨r ek p∨(q∨r)

(p∧q)∧r ek p∧(q∧r)

c.       Hukum  Komutatif (Kom)

p∨q ek q∨p

p∧q ek q∧p

d.      Hukum Distributif (Dist)

p∨(q∧r) ek (p∨q)∧(p∨r)

p∧(q∨r) ek (p∧q)∨(p∧r)

e.       Hukum Identitas (Id)

p∨F ek p

p∨T ek T

p∧F ek F

p∧T ek p

f.       Hukum Komplemen (Komp)

p∨∼p ek T

p∧∼p ek F

∼(∼p) ek p

∼T ek F

g.      Hukum Transposisi (Trans)

p⇒q ek ∼q⇒∼p

h.      Hukum Implikasi (Imp)

p⇒q ek ∼p∨q

i.        Hukum Ekivalensi (Eki)

p⇔q ek (p⇒q)∧(q⇒p)

p⇔q ek (p∧q)∨(∼q∧∼p)

j.        Hukum Eksportasi (Eksp)

·(p∧q)⇒r ek p⇒(q⇒r)

k.      Hukum De Morgan (DM)

∼(p∨q) ek ∼p∧∼q

∼(p∧q) ek ∼p∨∼q

F. IMPLIKASI LOGIKA

“jika Andi rajin belajar maka Andi naik kelas”

Jika pada kenyataannya Andi rajin belajar maka sebagai konskuensi logis dari pernyataan di atas pasti Andi naik kelas.

Misal 

p: Andi rajin belajar

q: Andi naik kelas

maka ((p→q)∧p)→q, nilainya akan selalu benar.

G. FUNGSI PROPOSISI DAN HIMPUNAN KEBENARAN

 Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan (sembarang kumpulan obyek). Kita menyebut P sebuah fungsi proposisi (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah proposisi.

H. PENGUKUR JUMLAH UNIVERSAL

Misalkan A sebuah penyataan, dan x menyatakan suatu variabel. Jika kita ingin menunjukkan bahwa A bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai x, kita tuliskan ∀xA. ∀x disebut pengukur jumlah universal (universal quantifier), dan A dikatakan sebagai ruang lingkup (scope) dari pengukur jumlah tersebut. Variabel x dikatakan menjadi variabel terbatas (bound) dari pengukur jumlah tersebut. Simbol ∀ dibaca “Untuk semua”.

I. NEGASI INGKARAN

Kalimat ingkaran ( Negasi ) adalah suatu pernyataan yang diperoleh dari suatu pernyataan sebelumnya dan mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan sebelumnya.

SUMBER;

https://id.wikipedia.org//wiki/proposisi

http://tampvan.blogspot.co.id/2016/05/pengertian-penulisan-dan-macam-himpunan.htmlhttp://irfanazhar94.blogspot.co.id/2014/07/bab-14-proposisi.html

BAB 13 FUNGSI

FUNGSI

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain).

Fungsi adalah relasi yang khusus:

Tiap elemen di dalam himpunan harus digunakan oleh prosedur atau kaidah yang mendefinisikan .

Frasa “dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam ” berarti bahwa jika dan, maka 

Membedakan fungsi satu-satu (one to one) dan Fungsi pada (onto)

Dalam suatu fungsi ada yang merupakan hanyaFungsi Pada atau Fungsi Satu-Satu saja tapi ada yang termasu kedua-duanya. Fungsi yang merupakan fungsi satu-satu dan pada biasanya disebut dengan Fungsi Bijeksi. Secara matematis ditulis sebagai berikut.

Definisi :

Pemetaan (fungsi) f : A B dikatakan bijeksi (bijection) jika f adalah Fungsi Satu-Satu dan Fungsi Pada.

Secara sederhana bahwa Fungsi Bijeksi akan terjadi jika jumlah anggota domain sama dengan jumlah anggota kodomain. Dengan catatan bahwa tidak ada dua domain berbeda atau lebih dipetakan ke kodomain yang sama dan setiap kodomain memiliki pasangan di domain.

FUNGSI SATU KE SATU (ONE TO ONE)

Fungsi di atas, fungsi dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama.

Contoh Soal:

Misalkan . Tentukan apakah dan merupakan fungsi satu-ke-satu?

Penyelesaian:

(i) bukan fungsi satu-ke-satu, karena untuk dua yang bernilai mutlak sama tetapi tandanya berbeda nilai fungsinya sama, misalnya padahal .

(ii) adalah fungsi satu-ke-satu karena untuk . Misalnya untuk dan untuk .

FUNGSI PADA atau (ONTO)

Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A.

Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B.

Membedakan domain, kodomain dan range suatu fungsi

Pengertian Domain, Kodomain, Range

Domain disebut juga dengan daerah asal,

 kodomain daerah kawan, sedangkan 

range adalah daerah hasil.

contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan " setengah dari ".

Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :

{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.

Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.

Dari fungsi di atas maka :

Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }

Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

Jika A = {2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}. Relasi dari himpunan A ke B adalah “

Faktor dari “, nyatakanlah relasi tersebut dengan :

a. Diagram Panah

b. Diagram Cartesius

c. Himpunan pasangan berurutan.

Jawab:

c. Himpunan pasangan berurutannya :{(2, 2), (2,4), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (4, 4),

(4, 8),(6, 6)}

 Sumber :

 http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_%28matematika%29

http://andreana123.blogspot.co.id/2014/07/normal-0-false-false-false-en-us-x-none.html

http://yrjuita.blogspot.co.id/2014/07/bab-13-fungsi.html